Tilastotieteellinen pähkinä.

[Riidankylväjä]

Edessäsi on kolme ovea. Yhden takana on palkintona Ferrari ja kahden muun takana aasi. Voit valita yhden oven.

Valittuasi haluamasi oven, avataan toinen jäljelle jääneistä ovista se takana on aasi.

Sinulle annetaan mahdollisuus vaihtaa valitsemasi ovi toiseen.

Kannattaako vaihtaa?

[Riidankylväjä]

Mitä mieltä on Pertti? (Olen ymmärtänyt, että sinulla olisi tilasto tieteen opintoja takana.)

[Kahvi]

Monty Hallin ongelma


Pelaaja valitsee oven 1, juontaja avaa
oven 3 paljastaen vuohen ja tarjoaa
pelaajalle vaihtoa oveen 2.

Monty Hallin ongelma on arvoitus, jonka ratkaisu edellyttää todennäköisyyksien arviointikykyä. Ongelma on nimetty Let's Make a Deal -kisailuohjelman juontajana toimineen Monty Hallin mukaan, ja sen asetelma perustuu löyhästi ohjelman formaattiin.

Monty Hallin ongelmassa kilpailijalla on edessään kolme ovea. Yhden oven takana on palkintona auto, kahden muun takana vuohi. Kilpailija, joka ei tiedä minkä oven takana mikin palkinto on, saa valita ovista yhden. Valittuaan oven hän ei vielä avaa sitä. Jäljelle jääneistä kahdesta ovesta avataan toinen, ja sen takana on aina vuohi. Tämän jälkeen kilpailija saa valita, vaihtaako ensin valitsemansa oven toiseen jäljellä olevaan suljettuun oveen, vai pitääkö ensin valitsemansa oven

Ratkaisu

Mielenkiintoista kilpailijan valinnan kannalta on, että todennäköisyyksien valossa ja useimpien ongelman ratkaisua yrittävien arvion vastaisesti[1] vaihto kannattaa: vaihtamalla laatikkoa voiton todennäköisyys nousee. Ilman vaihtoa voittomahdollisuus on ⅓, vaihdon jälkeen ⅔.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Monty_Hallin_ongelma

Tämä on siitä mielenkiintoinen tilanne, että arkijärki kokee nuo todennäköisyydet juuri toisinpäin. Kun ei oikein mitenkään mahdu tavan ajukoppaan, että ovea vaihtamalla todennäköisyys kasvaa niin suureksi kuin 2/3

[Kahvi]

Jossain käsiteltiin suht laajasti sitä, että kuinka (intuitiivinen) arkijärki joskus antaa vääriä tuloksia ja tämä Monty Hall'n ongelma oli yksi esimerkki siitä. Nyt kun vielä muistaisi että missä...

[Kahvi]

Ad Omnia: - leikki on kiinnostanut niin hurjasti, että edellä viittaamassani Wikipedian artikeleissa on kymmeniä lähteitä, jopa kokonainen kirja aiheesta.

Minua kiinnostaa ehkä eniten kgnitiivinen dissonanssi: miksi järkevä ja arviointikykyinen ihinen yleensä erehtyy tässä todennäköisyyttä koskevassa kysymyksessä.

Myytinmurtajien jaksossa kaikki 20 koehenkilöä ilmoittivat "en vaihda"...

http://kemppinen.blogspot.fi/2012/03/la ... eikki.html

Kemppistä kiinnostaa tässä kognitiivinen dissonanssi. Onkohan kuitenkaan kysymys siitä, vai jostain muusta?

[Kahvi]

Miksi viisas menee vipuun?

(--)

Sensijaan termi viisaus on paljon vaikeammin määriteltävissä. Usein viisautta pidetään älykkyyden synonyyminä, mutta tosiasiassa kyse on aivan muusta. Viisaus on pikemminkin kyky muodostaa asioiden syy-seuraussuhteita, nähdä kokonaisuuksia, erottaa olennaisuudet, tiedostaa käytännöllinen tieto käyttökelvottomata ja kykyä tehdä sellaisia päätöksiä ja tekoja, jotka pitkällä aikavälillä tuottavat positiivisen lopputuloksen.

Tehdäänpä neljä kysymystä. Älykäs ihminen löytää niihin helposti vastaukset, mutta viisaan ihmisen vastaukset voivat olla erilaiset. Vastauksia otetaan vastaan kommenttipuolella.

1. Maila ja pallo maksavat yhteensä 11 euroa. Maila maksaa 10 euroa enemmän kuin pallo. Mitä pallo maksaa?

2. Hehtaarin laajuisen järven keskellä on lumme, joka on istutettu sinne kuukauden 1. päivänä. Lumpeen lehti kasvaa kokoa niin, että se kaksinkertaistuu joka päivä. Kuukauden 25. päivänä lehden pinta-ala on puolet järven pinta-alasta. Milloin lumme peittää koko järven?

3. Jaakko katsoo Annea ja Anne katsoo Villeä. Jaakko on naimaton ja Ville naimisissa. Katsooko naimaton ihminen naimisissa olevaa?

4. Jos viideltä koneelta menee viisi minuuttia valmistaa viisi hilavitkutinta, niin kuinka kauan kestää 100 koneelta valmistaa 100 hilavitkutinta?

http://takkirauta.blogspot.fi/2009/11/m ... ipuun.html

Tätä taisin muistella. Onhan nuo kysymykset sellaisia, että "intiutiivinen arkijärki" antaa kovin helposti vääriä vastauksia.

[Kahvi]

Mulle ei kyllä aukea mitenkään tuo Monty Hallin ratkaisu. Siis se, että todennäköisyys kasvaa 1/2 -> 2/3 ovea vaihtamalla.

Tuossa linkittämässäni Wikipedian artikkelissa on koitettu vääntää ratkaisu rautalangasta:

Valittu ovi Ovi 2 Ovi 3 Tulos vaihtamalla Tulos pitäytymällä alkuperäisessä
Voitto Ei voittoa Ei voittoa Ei voittoa Voitto
Ei voittoa Voitto Ei voittoa Voitto Ei voittoa
Ei voittoa Ei voittoa Voitto Voitto Ei voittoa

http://fi.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall ... a#Ratkaisu
(näkyy vähän huonosti, copypastaus ei tuo mukanaan taulukkoa)

Äh... ei mee nyt jakeluun. Kun järki vaan sanoo, että kun on kaksi ovea, niin todennäköisyys on silloin 1/2 vaihtoi sitä ovea tahi ei.

[Riidankylväjä]

Kun valitset ensimmäisen oven, niin todennäköisyys on 1/3 eikö?

Eli valitsetatta jääneisen kahden oven todennäköisyydet ovat myös 1/3 ja 1/3 eli yht 2/3. Kun toinen noista otetaan pois pelistä tieto lisääntyi eli sen todennäköisyys olikin nolla. kun 2/3-0=2/3 jäljelle jäävän oven todennäköisyys täytyy olla 2/3.

[Kahvi]

Kun valitset ensimmäisen oven, niin todennäköisyys on 1/3 eikö?

Eli valitsetatta jääneisen kahden oven todennäköisyydet ovat myös 1/3 ja 1/3 eli yht 2/3. Kun toinen noista otetaan pois pelistä tieto lisääntyi eli sen todennäköisyys olikin nolla. kun 2/3-0=2/3 jäljelle jäävän oven todennäköisyys täytyy olla 2/3.

Noinkin juu kieltämättä.

Taidan ajatella asiaa liian käytännöläheisesti. Tavallaan näen tässä kaksi tilannetta: ensin on kolme ovea ja sitten kaksi ovea. Järkeni sanoo, että ensimmäinen ei liity jälkimmäiseen: pitää valita kahden oven välillä.

Vaan eipä tuo todennäköisyyslaskenta ole koskaan ollut meikäläisen vahvoja puolia. Lukiossakin yksinkertaisimmat tehtävät onnistuivat, mutta vähänkin vaikeimmissa olin ulkona kuin lintulauta.

[deontti]

En ehkä osaa selittää tuota Monty Hallin juttua mitenkään ymmärrettävästi, mutta koitan kuitenkin:

Alussa on kolme mahdollisuutta, jotka kaikki on yhtä todennäköisiä;

1) valitsen oven, jonka takana on vuohi nro 1
2) valitsen oven, jonka takana on vuohi nro 2
3) valitsen oven, jonka takana on auto

Nyt siis todennäköisyys, että valitsen auto-oven, on 1/3.

Sitten kahdesta jäljelle jääneestä ovesta paljastetaankin vuohi seuraavasti;

1) paljastetaan vuohiovi 2
2) paljastetaan vuohiovi 1
3) paljastetaan joko vuohiovi 1 tai 2,

jolloin vaihtoehdoksi omalle alkuperäiselle valinnalle jää;

1) auto-ovi
2) auto-ovi
3) joko vuohiovi 1 tai 2

Nyt siis todennäköisyys, että vaihtoehdoksi tarjottava ovi on auto-ovi, on 2/3. Todennäköisyys, että alunperin valitsemani on auto-ovi, on 1/3, eli siis aivan sama kuin alkutilanteessakin, mutta nyt kun yksi ovi on paljastettu, vaihtomahdollisuuksia on vain yksi, ja sen todennäköisyys olla auto-ovi on 2/3, vaihto kannattaa!

Toisin sanoin vielä;

Tilanteessa 1) tarjotuksi vaihtoehdoksi jää vuohioven 2 paljastamisen jälkeen auto-ovi (kun alunperin valittu on vuohiovi 1).
Tilanteessa 2) tarjotuksi vaihtoehdoksi jää vuohioven 1 paljastamisen jälkeen auto-ovi (kun alunperin valittu on vuohiovi 2).
Tilanteessa 3) tarjotuksi vaihtoehdoksi jää joko vuohioven 1 tai 2 paljastamisen jälkeen joko vuohiovi 1 tai 2 (kun alunperin valittu on auto-ovi).

Koska kaikki 3 tilannetta on yhtä todennäköisiä, on todennäköisyys, että auto-ovi jää tarjotuksi vahtoehdoksi 2/3, ja todennäköisyys, että auto-ovi on alunperin valittu, vain 1/3. Kannattaa vaihtaa.

[Psykopatologia]

Mitä mieltä on Pertti? (Olen ymmärtänyt, että sinulla olisi tilasto tieteen opintoja takana.)

No enhän minä! - Kyseessä todennäköisyyslaskentaan kuuluva tehtävä.

Statistiikkaa on ollut hieman liittyen psykologian ja sosiologian metodikkaan.
Minulla on molemmissa laudatur-(määrä)arvosana.

[ve e]

Toisin sanoin vielä;

Tilanteessa 1) tarjotuksi vaihtoehdoksi jää vuohioven 2 paljastamisen jälkeen auto-ovi (kun alunperin valittu on vuohiovi 1).
Tilanteessa 2) tarjotuksi vaihtoehdoksi jää vuohioven 1 paljastamisen jälkeen auto-ovi (kun alunperin valittu on vuohiovi 2).
Tilanteessa 3) tarjotuksi vaihtoehdoksi jää joko vuohioven 1 tai 2 paljastamisen jälkeen joko vuohiovi 1 tai 2 (kun alunperin valittu on auto-ovi).

Koska kaikki 3 tilannetta on yhtä todennäköisiä, on todennäköisyys, että auto-ovi jää tarjotuksi vahtoehdoksi 2/3, ja todennäköisyys, että auto-ovi on alunperin valittu, vain 1/3. Kannattaa vaihtaa.

Tämä oli hyvin selitetty. En olisi osannut järkeillä, että todennäköisyys on 2/3, vaikka olisinkin (tässä kontekstissa, kun oli kysymys todennäköisyyspähkinästä) osannut järkeillä, että lisääntynyt informaatio jää käyttämättä, jos valitsee sen alkuperäisen ovensa.

[Riidankylväjä]

Tuosta voi kokeilla toimiiko.

http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html

[Hermes]

Auttaisiko sellainen ajattelutapa, että se vuohen paljastaminen tavallaan luo ihan erilaisen tilanteen kuin oli alkuperäisessä kysymyksessä. Alkuperäisessä ongelmassa oli sellainen tilanne, että vuohi on jonkin oven takana, eli on 1/3 mahdollisuus valita oikea ovi. Se oven avaaja avaa aina sellaisen oven, jonka takana ei ole vuohta, eli oven avaaja tavallaan valinnallaan paljastaa uutta tietoa pelistä. Hän tietää, minkä oven takana ei ainakaan ole vuohta ja tavallaan epäsuorasti paljastaa osan tiedosta.

[Hermes]

Tai sanotaanko sellainen ajattelutapa, että se oma valinta tavallaan lukitsee yhden oven, jota se paljastelija ei ainakaan voi valita. Hänen pitää paljastaa tietämyksensä toisesta vapaata ovesta. Siinä on kaksi vaihtoehtoa, joko olet valinnut alun perin oikein tai sitten se vuohi on toisen oven takana. Niille kahdelle vaihtoehdolle voi laskea todennäköisyydet, ehkä sen saa sitä kautta mietittyä tarkemmin

[Riidankylväjä]

Tällä "uhkapelillä" huijarit keräävät turisteilta rahat parempaan kotiin.

AMAZING Three Cup Shuffle Magic Trick
http://www.youtube.com/watch?v=AZZi1SA90Io

[Hermes]

Tai sanotaanko sellainen ajattelutapa, että se oma valinta tavallaan lukitsee yhden oven, jota se paljastelija ei ainakaan voi valita. Hänen pitää paljastaa tietämyksensä toisesta vapaata ovesta. Siinä on kaksi vaihtoehtoa, joko olet valinnut alun perin oikein tai sitten se vuohi on toisen oven takana. Niille kahdelle vaihtoehdolle voi laskea todennäköisyydet, ehkä sen saa sitä kautta mietittyä tarkemmin

?

Jotain tuollaista. Yksi valinnoista on menneisyydessä ja yksi tulevaisuudessa. Kyse ei ole oikeastaan valinnassa pitäytymisessä(/pitäytymättä jättämisessä) vaan uudelleen arvaamisessa.

Tehtävässä vaietaan siitä 1/3:sta joka häviää ensimmäisen kierroksen kokonaan tuolla ensimmäisellä yrityksellä. Niinpä se on eräänlainen "painotetun nopan" tapaus.

Muuten, kun eilen selittelin noita, niin muistin, että juuri vuohi pitää löytää.

Niin, moni menee varmaan hämilleen siitä, että kun vuohi on paljastettu, niin miksi ei voi nostaa sormeaan ensimmäiseltä ovelta ja valita sitä uudestaan voittotodennäköisyydellä 1/2. Miksi pitää valita se toinen ovi ja miksi molemmat jäljellä olevat ovet eivät ole 1/2?

Minusta yksi aika yksinkertainen tapa päästä tuohon 2/3 on seuraavanlainen. On tasan kaksi toisensa poissulkevaa vaihtoehtoa: joko sen alkuperäisen oven takana on vuohi tai siellä on palkinto. Käsitellään näitä vaihtoehtoja täysin erikseen:

1. Alkuperäisen oven takana on vuohi. Koska vuohia on kaksi, todennäköisyys valita vuohi on selvästi 2/3. Jos "onnistut" valitsemaan aluksi vuohen, niin tällaisessa tilanteessa paljastelija tavallaan epäsuorasti paljastaa palkinnon joka ikinen kerta. Sormesi alla on yksi vuohi, paljastelija paljastaa toisen vuohen, joten palkinnon on pakko olla sen vapaan oven takana.

2. Alkuperäisen oven takana on palkinto. Tällöin ei tietenkään koskaan voita vaihtamalla, mutta onneksi todennäköisyys tälle tilanteelle on vain 1/3.

Eli vaihtotekniikalla onnistumisen ratkaisee täysin se, onnistutko aluksi valitsemaan vuohen.

[Hermes]

Olin nähdä painajaisia tästä viime yönä. Epäilen että vuohi on sukua Schrödingerin kissalle - niin kauan kun kaikkia luukkuja ei ole avattu ei valitun luukun takana ole sen enempää autoa kuin vuohtakaan

Minulle taas tuli itsestään putkahti mieleeni tuo helpoin "intuitiivinen selitys" itsestään, kun olin tänään aamulla heräilemässä. En yrittänyt tuoda sitä mieleeni, en edes varsinaisesti tahtonut tuoda sitä mieleeni, se vain putkahti. Se tuli väkisin mieleeni heti herättyäni, varmaan aivoni prosessoivat sitä koko yön!

Heh. No joo, kuulin tuosta jutusta ensimmäisen kerran joskus 15 vuotta sitten nuorena miehenä, kun baarissa kaveri selitti sen. Sen jälkeen sitä mietittiin aika pitkään. Sen jälkeen olen ehkä kerran tai kaksi törmännyt siihen netissä keskustelupalstoilla. Olin jo tavallaan unohtanut ne parhaat tavat selittää se normaalille mielelleni, tuo edellisessä viestissä selittämäni tapa on ehkä lähinnä sitä mitä hain. Siis selittää minun mielelleni, se ei välttämättä sytytä muille. Nyt lupaan ja vannon, että ensi yönä en ajattele asiaa tiedostamatta ollenkaan!

[Hermes]

Tavallaan selitykseni perustuu jo alun perin jonkinlaiseen tilastotieteelliseen, tms, taustaan, jossa voi esimerkiksi nuo kaksi vaihtoehtoa erotella omiksi osaksiin. Mutta kai se on helppo tajuta, että jos ensiksi valitset vuohen, niin paljastelija valitsee sen toisen vuohen ja palkinto on pakostakin kolmannen oven takana? Ehkä siitä voi kehitellä jotain. Mutta minua EVVK enää.

[Hermes]

Kyllä minä ymmärrän että vuohia on vain kaksi. Mutta se ei paradoksia selvennä koska se on vain yksi vaihtoehto. Luulisi että vuohesta palkintoon siirtyminen on yhtä todennäköistä kuin palkinnosta vuoheen. Sen kun olet kyllästynyt aiheeseen mutta viimeistä sanaa et saa

Mutta vuohen valinta alussa on 2/3, palkinnon 1/3. Jos onnistuu alussa valitsemaan vuohen 2/3, niin voitto on sillä sinetöity.